申伊塃、郑业龙、陈效群、张韵华编著 中国科学技术大学出版社 欢迎将您的修改建议通知我们 (电子邮箱: yhshen AT ustc.edu.cn)

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部分勘误信息 (2018年6月第3次印刷)

非常感谢王成凯、陈力、王圣朴、张润卿、曾郅琛、柴琎、秦健等同学提供的宝贵意见.

• 第107页最下面, 应改成: 设${\gamma }_i=k_i{\gamma }_1$, 并令$a_i=k_i{a}_1$, $i=2,3,\cdots ,n$, 则 $$A=\left(\begin{array}{c}{\gamma }_1\\ k_2{\gamma }_1\\ ⋮\\ k_n{\gamma }_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{a}_1{b}_1& a_1{b}_2& \cdots & a_1{b}_n\\ a_2{b}_1& a_2{b}_2& \cdots & a_2{b}_n\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_n{b}_1& a_n{b}_2& \cdots & a_n{b}_n\end{array}\right)=\cdots$$
• 第113页的第20题改为: 设实矩阵$A=(a_{ij}{)}_{3\times 3}$满足$A^{\ast }=A^{\mathrm{T}}$, 其中 $A^{\ast }$为$A$的伴随矩阵, $A^{\mathrm{T}}$为$A$的转置矩阵, 若$a_{11}$, $a_{12}$, $a_{13}$ 为三个相等的正数, 则...
• 第113页的第24题改为: $B^{2012}-2A^2$
• 第115页的第20题的解答中: 由条件$A^{\ast }=A^{\mathrm{T}}$知$A^{\ast }A=A^{\mathrm{T}}A$, 即$det(A)I_3=A^{\mathrm{T}}A$. 对后者取行列式, 知 $det(A{)}^3=det(A{)}^2$, 从而 $det(A)=0$ 或 $1$. 若 $det(A)=0$, 则由$\text{tr}(A^{\mathrm{T}}A)=\text{tr}(det(A)I_3)$知$\sum _{i=1}^3\sum _{j=1}^3{a}_{ij}^2=0$, 从而 $A$ 为零矩阵. 但是这与 $a_{11}=a_{12}=a_{13}$为正数的条件相矛盾. 故$det(A)=1$, 此时 $A^{\mathrm{T}}A=I_3$, 这说明 $A$ 为第一型的正交矩阵; 特别地, $A$ 的第一个行向量是长度为$1$的向量. 再由 $a_{11}=a_{12}=a_{13}>0$, 知 $a_{11}=a_{12}=a_{13}=1/\sqrt{3}$. 故答案为 (A).
• 第115页的第23题的解答中: 当 $a=3$ 时, 增广矩阵 $$\overline{A}=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 1\\ 2& 3& 5& 3\\ 1& 3& -2& 2\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 1\\ 0& 1& -3& -1\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right),$$ 而当 $a=-1$时, 增广矩阵 $$\overline{A}=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 1\\ 2& 3& 1& 3\\ 1& -1& -2& 2\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 1\\ 0& 1& 1& -1\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right).$$ 无论是哪种情形, $\mathrm{r}(A)=2<\mathrm{r}(\overline{A})=3$, 因此方程组无解 (这儿需要用到第五章的知识点, 参见教材 5.5.1 小节的内容). 故此题的答案是 $a=3$ 或 $-1$.
• 第 115 页到 120 页的 15 是教材 (第二版) 的 16; 16 是教材的 17; 17 是教材的 19; 18 是教材的 19; 19 需要删去; 21 是教材的 34; 22 是教材的 35; 23 是教材的 15; 24 是教材的 21; 25 是教材的 23; 26 是教材的 24; 27 是教材的 25; 28 是教材的 26; 29 是教材的 27; 30 是教材的 28; 31 是教材的 29; 32 是教材的 30; 33 是教材的 31; 34 是教材的 32; 35 是教材的 36; 36 是教材的 37; 37 是教材的 38; 38 是教材的 39; 39 是教材的 40; 40 是教材的 41; 41 是教材的 42; 42 是教材的 43.
• 第134页第30题第5行中改为: $i:=max\{k\mid \text{向量组}{a}_1,a_2,\dots ,a_k$线性相关$\}>1$. 第6行中改为: 由 $i$ 的选取的极{\color{red}小}性.
• 第147页第48题(5)中改为: $\frac{x_3-3x_1}{4}$
• 第152页第62题(3)中改为: $\prod _{j\ne 0}(x-a_j),\prod _{j\ne 1}(x-a_j),\cdots ,\prod _{j\ne n}(x-a_j)$ (其中 $a_0,a_1,\cdots ,a_n$为互不相同的实数).
• 第181页例题6.2的第(4)小题: 设$V$是数域$F$上的一个有限维线性空间, 维数为$n\ge 1$, 则$\dots$
• 第203页例题6.46的第(1)小题的答案为$-\text{tr}(A)$
• 第203页例题6.46的第(12)小题的答案为任意实数
• 第 225 页第 7 题删除, 接下来的各题的题号均减一.
• 第254页例题7.53题目修正为: 设${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$和${\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_n$为$n$维欧氏空间$V$的两组正交基.
• 第294页例题8.12的证明修正为: 设$Q$的正负惯性指数分别为$s,t$, 并经可逆线性变换$X=CZ$化为规范形$Q(x_1,x_2,\dots ,x_n)=z_1^2+z_2^2+\cdots +z_s^2-z_{s+1}^2-z_{s+2}^2-\cdots -z_{s+t}^2$. 不妨设 $C^{-1}=(c_{ij})$. 假设$s>p$, 则因为$p+(n-s)<n$, 故存在非零的$X_0$使$y_i=0$, $i=1,2,\dots ,p$; $z_j=c_{j1}{x}_1+c_{j2}{x}_2+\cdots +c_{jn}{x}_n=0$, $s+1\le j\le n$. 此时, 一方面, $Q(X_0)=-y_{p+1}^2-y_{p+2}^2-\cdots -y_{p+q}^2\le 0$. 另一方面, $Z_0=C^{-1}{X}_0$ 不是零向量, 从而相应的 $z_1,z_2,\dots ,z_s$ 不全为$0$. 此时, $Q(X_0)=z_1^2+z_2^2+\cdots +z_s^2>0$. 矛盾, 从而$s\le p$. 同理可证$t\le q$.
• 第 305 页 2.(5) 中关于半正定的等价条件的第 ③ 条移去“正惯性指数$s=\mathrm{rank}(A)<n$, 且”; 第 ④ 条移去 “, $s<n$”; 第 ⑤ 条移去“不可逆”; 第 ⑥ 条移去“, 且至少有一个为0”.
• 第 305 页 2.(6) 中移去“; $det(A)=0$,”.
• 第 305 页 3.(2) 改为 “半正定的判定. $n$ 元实二次型$Q(X)=X^{\mathrm{T}}AX$ 或实对称矩阵 $A$ 半正定 $\iff$ $A$ 的各阶主子式全非负, 即 $detA(\genfrac{}{}{0ex}{}{i_1{i}_2\cdots i_k}{i_1{i}_2\cdots i_k})\ge 0$, $1\le i_1<i_2<\cdots <i_k\le n$, $k=1,2,\dots ,n$.”
• 第 305 页 3.(4) 改为 “半负定的判定. $n$ 元实二次型$Q(X)=X^{\mathrm{T}}AX$ 或实对称矩阵 $A$ 半负定 $\iff$ $A$ 的各奇数阶主子式全非正, 各偶数阶主子式全非负, 即 $(-1{)}^{k}detA(\genfrac{}{}{0ex}{}{i_1{i}_2\cdots i_k}{i_1{i}_2\cdots i_k})\ge 0$, $1\le i_1<i_2<\cdots <i_k\le n$, $k=1,2,\dots ,n$.”
• 第 316 页 7(5) 的答案应该为 $(a_1{b}_1+\cdots +a_n{b}_n{)}^{k-1}A$
• 第 316 页到 318 页的 15 是教材 (第二版) 的 16; 16 是教材的 17; 17 是教材的 19; 18 是教材的 19; 19 需要删去; 21 是教材的 34; 22 是教材的 35; 23 是教材的 15; 24 是教材的 21; 25 是教材的 23; 26 是教材的 24; 27 是教材的 25; 28 是教材的 26; 29 是教材的 27; 30 是教材的 28; 31 是教材的 29; 32 是教材的 30; 33 是教材的 31; 34 是教材的 32; 35 是教材的 36; 36 是教材的 37; 37 是教材的 38; 38 是教材的 39; 39 是教材的 40; 40 是教材的 41; 41 是教材的 42; 42 是教材的 43.
• 第 326 页第 7 的答案删除, 接下来的各题的题号均减一.

部分勘误信息 (2016年8月第2次印刷) (请参考上面的勘误, 这一版次的勘误一般情况下不再更新)

非常感谢熊伟、李天宇、吴昕、程泽康、张钊、康宁等同学提供的宝贵意见.

• 第42页的例题2.31, 直线 $L$ 的表达式改为 $$\{\begin{array}{ll}x+y-z-1=& 0\\ x-y+z+1=& 0\end{array}$$
• 第76页, 最后一行的矩阵改为 $$\left(\begin{array}{cccc}{I}_r& 0& A^{-1}& -A^{-1}C{B}^{-1}\\ 0& I_k& 0& B^{-1}\end{array}\right).$$
• 第92页例4.37的解答: $$A^n=2^{n-1}\alpha {\alpha }^{\mathrm{T}}=2^{n-1}\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 0& 0\\ -1& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{2}^{n-1}& 0& -2^{n-1}\\ 0& 0& 0\\ -2^{n-1}& 0& 2^{n-1}\end{array}\right)$$
• 第93页例4.38的解答. 矩阵的圆括号应当改成行列式符号: $$|A|=\left|\begin{array}{ccccc}n-1& 1& \dots & 1& 1\\ n-1& 0& \dots & 1& 1\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ n-1& 1& \dots & 0& 1\\ n-1& 1& \dots & 1& 0\end{array}\right|=(n-1)\left|\begin{array}{ccccc}1& 1& \dots & 1& 1\\ 1& 0& \dots & 1& 1\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 1& 1& \dots & 0& 1\\ 1& 1& \dots & 1& 0\end{array}\right|=(n-1)\left|\begin{array}{ccccc}1& 1& \dots & 1& 1\\ 0& -1& \dots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \dots & -1& 0\\ 0& 0& \dots & 0& -1\end{array}\right|=(-1{)}^{n-1}(n-1).$$
• 第101页例4.47的题目. 证明Cramer法则: 当系数矩阵……
• 第112页, 第17题的四个选项将 $AB$ 全都改成 $A^{\mathrm{T}}B$.
• 第218页例6.93的提示中, 对于代数重数, 很显然有 $n_{A,B}=n_A+n_B$.
• 第304页2.(2)中, $(A{)}_{ij}>0$ 改成 $(A{)}_{ii}>0$, 即 $A$ 的主对角线上的元素皆大于零.
• 第313页, 24题的答案应改为 $4x^2+4y^2\le 1$.
• 第313页, 27题的方程应改为 $$8x^2+5y^2+5z^2+4xy+8yz-4xz-8x-2y+2z-7=0.$$
• 第317页25题(4)的答案: $(-1{)}^{\sum _{i<j}{n}_i{n}_j}det(A_1)\cdots det(A_k)$
• 第321页, 12题, (2): 错误. 例如, 考虑平面上 $(1,0)$, $(0,1)$ 和 $(1,1)$ 构成的向量组.
• 第323页, 35题, (2): 矩阵应改为 $$\left(\begin{array}{cccc}3/5& -2/5& 0& 0\\ -2/5& 3/5& 0& 0\\ 3/5& -2/5& 1& 0\\ -14/5& 11/5& 0& 1\end{array}\right).$$
• 第325页2题(4)的答案: 所求矩阵为 $\left(\begin{array}{cccc}0& -x_{21}& x_{12}& 0\\ -x_{12}& x_{11}-x_{22}& 0& x_{12}\\ x_{21}& 0& x_{22}-x_{11}& -x_{21}\\ 0& x_{21}& -x_{12}& 0\end{array}\right)$.
• 第330页4题(2)的答案: $\frac{1}{\sqrt{7}}(1,1,1,2)$, $\frac{1}{9\sqrt{21}}(4,4,-38,15)$, $\frac{1}{9\sqrt{26898}}(986,743,-133,-798)$.