申伊塃、郑业龙、陈效群、张韵华编著 中国科学技术大学出版社 欢迎将您的修改建议通知我们 (电子邮箱: yhshen AT ustc.edu.cn)

感谢MathJax对在网页上显示数学公式的支持.

部分勘误信息 (2018年6月第3次印刷)

非常感谢王成凯、陈力、王圣朴、张润卿、曾郅琛、柴琎、秦健等同学提供的宝贵意见.

• 第107页最下面, 应改成: 设$\gamma_i=k_i\gamma_1$, 并令$a_i=k_ia_1$, $i=2,3,\cdots,n$, 则 $$ A=\color{red}{ \begin{pmatrix} \gamma_1 \\ k_2\gamma_1 \\ \vdots \\ k_n\gamma_1 \end{pmatrix} =} \begin{pmatrix} a_1b_1 & a_1b_2 & \cdots & a_1b_n \\ a_2b_1 & a_2b_2 & \cdots & a_2b_n \\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ a_nb_1 & a_nb_2 & \cdots & a_nb_n \end{pmatrix} =\cdots $$
• 第113页的第20题改为: 设实矩阵$A=(a_{ij})_{3\times 3}$满足$A^*=A^{\mathrm{T}}$, 其中 $A^*$为$A$的伴随矩阵, $A^{\mathrm{T}}$为$A$的转置矩阵, 若$a_{11}$, $a_{12}$, $a_{13}$ 为三个相等的正数, 则...
• 第113页的第24题改为: $B^{\color{red}{2012}}-2A^2$
• 第115页的第20题的解答中: 由条件$A^*=A^{\mathrm{T}}$知$A^*A=A^{\mathrm{T}}A$, 即$\det(A)I_3=A^{\mathrm{T}}A$. 对后者取行列式, 知 $\det(A)^3=\det(A)^2$, 从而 $\det(A)=0$ 或 $1$. 若 $\det(A)=0$, 则由$\tr(A^{\mathrm{T}}A)=\tr(\det(A)I_3)$知$\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^3 a_{ij}^2=0$, 从而 $A$ 为零矩阵. 但是这与 $a_{11}=a_{12}=a_{13}$为正数的条件相矛盾. 故$\det(A)=1$, 此时 $A^{\mathrm{T}}A=I_3$, 这说明 $A$ 为第一型的正交矩阵; 特别地, $A$ 的第一个行向量是长度为$1$的向量. 再由 $a_{11}=a_{12}=a_{13}>0$, 知 $a_{11}=a_{12}=a_{13}=1/\sqrt{3}$. 故答案为 (A).
• 第115页的第23题的解答中: 当 $a=3$ 时, 增广矩阵 \[ \bar{A}= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1\\ 2 & 3 & 5 & 3\\ 1 & 3 & -2 & 2 \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -3 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \] 而当 $a=-1$时, 增广矩阵 \[ \bar{A}= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1\\ 2 & 3 & 1 & 3\\ 1 & -1 & -2 & 2 \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \] 无论是哪种情形, $\mathrm{r}(A)=2 < \mathrm{r}(\bar{A})=3$, 因此方程组无解 (这儿需要用到第五章的知识点, 参见教材 5.5.1 小节的内容). 故此题的答案是 $a=3$ 或 $-1$.
• 第 115 页到 120 页的 15 是教材 (第二版) 的 16; 16 是教材的 17; 17 是教材的 19; 18 是教材的 19; 19 需要删去; 21 是教材的 34; 22 是教材的 35; 23 是教材的 15; 24 是教材的 21; 25 是教材的 23; 26 是教材的 24; 27 是教材的 25; 28 是教材的 26; 29 是教材的 27; 30 是教材的 28; 31 是教材的 29; 32 是教材的 30; 33 是教材的 31; 34 是教材的 32; 35 是教材的 36; 36 是教材的 37; 37 是教材的 38; 38 是教材的 39; 39 是教材的 40; 40 是教材的 41; 41 是教材的 42; 42 是教材的 43.
• 第134页第30题第5行中改为: $i:={\color{red}\max}\{k\mid \text{向量组$a_1,a_2,\dots,a_k$}$线性相关$\} > 1$. 第6行中改为: 由 $i$ 的选取的极{\color{red}小}性.
• 第147页第48题(5)中改为: $\frac{x_3-3x_{\color{red}{1}}}{4}$
• 第152页第62题(3)中改为: $\prod_{j\ne \color{red}{0}}(x-a_j),\prod_{j\ne \color{red}{1}}(x-a_j),\cdots,\prod_{j\ne n}(x-a_j) $ (其中 $a_0,a_1,\cdots,a_n $为互不相同的实数).
• 第181页例题6.2的第(4)小题: 设$V$是数域$F$上的一个有限维线性空间, 维数为$n\ge 1$, 则$\ldots$
• 第203页例题6.46的第(1)小题的答案为$-\tr(A)$
• 第203页例题6.46的第(12)小题的答案为任意实数
• 第 225 页第 7 题删除, 接下来的各题的题号均减一.
• 第254页例题7.53题目修正为: 设$\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n$和$\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n$为$n$维欧氏空间$V$的两组正交基.
• 第294页例题8.12的证明修正为: 设$Q$的正负惯性指数分别为$s,t$, 并经可逆线性变换$X=CZ$化为规范形$Q(x_1,x_2,\dots,x_n)=z_1^2+z_2^2+\cdots+z_s^2-z_{s+1}^2-z_{s+2}^2-\cdots-z_{s+t}^2$. 不妨设 $C^{-1}=(c_{ij})$. 假设$s>p$, 则因为$p+(n-s) < n$, 故存在非零的$X_0$使$y_i=0$, $i=1,2,\dots,p$; $z_j=c_{j1}x_1+c_{j2}x_2+\cdots+c_{jn}x_n=0$, $s+1\le j\le n$. 此时, 一方面, $Q(X_0)=-y_{p+1}^2-y_{p+2}^2-\cdots-y_{p+q}^2\le 0$. 另一方面, $Z_0=C^{-1}X_0$ 不是零向量, 从而相应的 $z_1,z_2,\dots,z_s$ 不全为$0$. 此时, $Q(X_0)=z_1^2+z_2^2+\cdots+z_s^2>0$. 矛盾, 从而$s\le p$. 同理可证$t\le q$.
• 第 305 页 2.(5) 中关于半正定的等价条件的第 ③ 条移去“正惯性指数$s=\mathrm{rank}(A) < n$, 且”; 第 ④ 条移去 “, $s< n$”; 第 ⑤ 条移去“不可逆”; 第 ⑥ 条移去“, 且至少有一个为0”.
• 第 305 页 2.(6) 中移去“; $\det(A)=0$,”.
• 第 305 页 3.(2) 改为 “半正定的判定. $n$ 元实二次型$Q(X)=X^{\mathrm{T}}AX$ 或实对称矩阵 $A$ 半正定 $\Leftrightarrow$ $A$ 的各阶主子式全非负, 即 $\det A\binom{i_1\ i_2\ \cdots\ i_k}{i_1\ i_2\ \cdots\ i_k}\ge 0$, $1\le i_1 < i_2 < \cdots < i_k\le n$, $k=1,2,\dots,n$.”
• 第 305 页 3.(4) 改为 “半负定的判定. $n$ 元实二次型$Q(X)=X^{\mathrm{T}}AX$ 或实对称矩阵 $A$ 半负定 $\Leftrightarrow$ $A$ 的各奇数阶主子式全非正, 各偶数阶主子式全非负, 即 $(-1)^k\det A\binom{i_1\ i_2\ \cdots\ i_k}{i_1\ i_2\ \cdots\ i_k}\ge 0$, $1\le i_1 < i_2 < \cdots < i_k\le n$, $k=1,2,\dots,n$.”
• 第 316 页 7(5) 的答案应该为 $(a_1b_1+\cdots+{\color{red}{a_n}}b_n)^{k-1}A$
• 第 316 页到 318 页的 15 是教材 (第二版) 的 16; 16 是教材的 17; 17 是教材的 19; 18 是教材的 19; 19 需要删去; 21 是教材的 34; 22 是教材的 35; 23 是教材的 15; 24 是教材的 21; 25 是教材的 23; 26 是教材的 24; 27 是教材的 25; 28 是教材的 26; 29 是教材的 27; 30 是教材的 28; 31 是教材的 29; 32 是教材的 30; 33 是教材的 31; 34 是教材的 32; 35 是教材的 36; 36 是教材的 37; 37 是教材的 38; 38 是教材的 39; 39 是教材的 40; 40 是教材的 41; 41 是教材的 42; 42 是教材的 43.
• 第 326 页第 7 的答案删除, 接下来的各题的题号均减一.

部分勘误信息 (2016年8月第2次印刷) (请参考上面的勘误, 这一版次的勘误一般情况下不再更新)

非常感谢熊伟、李天宇、吴昕、程泽康、张钊、康宁等同学提供的宝贵意见.

• 第42页的例题2.31, 直线 $L$ 的表达式改为 $$ \begin{cases} x\color{red}{+}y-z-1=& 0 \\ x-y+z+1=&0 \end{cases} $$
• 第76页, 最后一行的矩阵改为 $$ \begin{pmatrix} I_r & 0 & A^{-1} & -A^{-1}CB^{-1}\\ 0 & I_{\color{red}{k}} & 0 & B^{-1} \end{pmatrix}. $$
• 第92页例4.37的解答: $$ A^n=2^{n-1}\alpha \alpha^{\mathrm{T}} =2^{n-1} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \color{red}{-1} & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2^{n-1} & 0 & -2^{n-1}\\ 0 & 0 & 0 \\ \color{red}{-2^{n-1}} & 0 & 2^{n-1} \end{pmatrix} $$
• 第93页例4.38的解答. 矩阵的圆括号应当改成行列式符号: $$ |A|=\left| \begin{matrix} n-1 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\ n-1 & 0 & \ldots & 1 & 1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ n-1 & 1 & \ldots & 0 & 1 \\ n-1 & 1 & \ldots & 1 & 0 \end{matrix} \right| =(n-1) \left| \begin{matrix} 1 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\ 1 & 0 & \ldots & 1 & 1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 1 & 1 & \ldots & 0 & 1 \\ 1 & 1 & \ldots & 1 & 0 \\ \end{matrix} \right| =(n-1) \left| \begin{matrix} 1 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\ 0 & -1 & \ldots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & -1 & 0 \\ 0 & 0 & \ldots & 0 & -1 \\ \end{matrix} \right|=(-1)^{n-1}(n-1). $$
• 第101页例4.47的题目. 证明Cramer法则: 当系数矩阵……
• 第112页, 第17题的四个选项将 $AB$ 全都改成 $A^{{\mathrm{T}}}B$.
• 第218页例6.93的提示中, 对于代数重数, 很显然有 $\color{red}{n_{A,B}=n_A+n_B}$.
• 第304页2.(2)中, $\color{red}{(A)_{ij}>0}$ 改成 $(A)_{ii}>0$, 即 $A$ 的主对角线上的元素皆大于零.
• 第313页, 24题的答案应改为 $4x^2+4y^2\color{red}{\le}1$.
• 第313页, 27题的方程应改为 $$ 8x^2+5y^2+5z^2+4xy+8yz-4xz-8x-2y+2z-\color{red}{7}=0. $$
• 第317页25题(4)的答案: $\color{red}{(-1)^{\sum_{i < j} n_in_j}}\det(A_1)\cdots\det(A_k)$
• 第321页, 12题, (2): 错误. 例如, 考虑平面上 $(1,0)$, $(0,1)$ 和 $(1,1)$ 构成的向量组.
• 第323页, 35题, (2): 矩阵应改为 $$ \begin{pmatrix} 3/5 & \color{red}{-2/5} & 0 & 0 \\ -2/5 & 3/5 & 0 & 0 \\ 3/5 & -2/5 & 1 & 0 \\ -14/5 & 11/5 & 0 & 1 \end{pmatrix}. $$
• 第325页2题(4)的答案: 所求矩阵为 $ \begin{pmatrix} 0 & \color{red}{-x_{21}} & x_{12} & 0\\ -x_{12} & x_{11}-x_{22} & 0 & x_{12}\\ x_{21} & 0 & x_{22}-x_{11} & -x_{21} \\ 0 & x_{21} & -x_{12} & 0 \end{pmatrix} $.
• 第330页4题(2)的答案: $\frac{1}{\sqrt{7}}(1,1,1,2)$, $\frac{1}{9\sqrt{21}}(4,4,-38,15)$, $\frac{1}{9\sqrt{26898}}(986,743,-133,-798)$.