线性代数与解析几何学习辅导

Last Modified : Mar 26, 2025

  • 申伊塃、郑业龙、陈效群、张韵华编著
  • 中国科学技术大学出版社
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线性代数与解析几何

感谢MathJax对在网页上显示数学公式的支持.



部分勘误信息 (2018年6月第3次印刷)

非常感谢王成凯、陈力、王圣朴、张润卿、曾郅琛、柴琎、秦健等同学提供的宝贵意见.
  • 第107页最下面, 应改成: γi=kiγ1, 并令ai=kia1, i=2,3,,n, 则 A=(γ1k2γ1knγ1)=(a1b1a1b2a1bna2b1a2b2a2bnanb1anb2anbn)=
  • 第113页的第20题改为: 设矩阵A=(aij)3×3满足A=AT, 其中 AA的伴随矩阵, ATA的转置矩阵, 若a11, a12, a13 为三个相等的正数, 则...
  • 第113页的第24题改为: B20122A2
  • 第115页的第20题的解答中: 由条件A=ATAA=ATA, 即det(A)I3=ATA. 对后者取行列式, 知 det(A)3=det(A)2, 从而 det(A)=01. 若 det(A)=0, 则由tr(ATA)=tr(det(A)I3)i=13j=13aij2=0, 从而 A 为零矩阵. 但是这与 a11=a12=a13为正数的条件相矛盾. 故det(A)=1, 此时 ATA=I3, 这说明 A 为第一型的正交矩阵; 特别地, A 的第一个行向量是长度为1的向量. 再由 a11=a12=a13>0, 知 a11=a12=a13=1/3. 故答案为 (A).
  • 第115页的第23题的解答中: 当 a=3 时, 增广矩阵 A¯=(121123531322)(121101310001), 而当 a=1时, 增广矩阵 A¯=(121123131122)(121101110001). 无论是哪种情形, r(A)=2<r(A¯)=3, 因此方程组无解 (这儿需要用到第五章的知识点, 参见教材 5.5.1 小节的内容). 故此题的答案是 a=31.
  • 第 115 页到 120 页的 15 是教材 (第二版) 的 16; 16 是教材的 17; 17 是教材的 19; 18 是教材的 19; 19 需要删去; 21 是教材的 34; 22 是教材的 35; 23 是教材的 15; 24 是教材的 21; 25 是教材的 23; 26 是教材的 24; 27 是教材的 25; 28 是教材的 26; 29 是教材的 27; 30 是教材的 28; 31 是教材的 29; 32 是教材的 30; 33 是教材的 31; 34 是教材的 32; 35 是教材的 36; 36 是教材的 37; 37 是教材的 38; 38 是教材的 39; 39 是教材的 40; 40 是教材的 41; 41 是教材的 42; 42 是教材的 43.
  • 第134页第30题第5行中改为: i:=max{k向量组a1,a2,,ak线性相关}>1. 第6行中改为: 由 i 的选取的极{\color{red}小}性.
  • 第147页第48题(5)中改为: x33x14
  • 第152页第62题(3)中改为: j0(xaj),j1(xaj),,jn(xaj) (其中 a0,a1,,an为互不相同的实数).
  • 第181页例题6.2的第(4)小题: 设V是数域F上的一个有限维线性空间, 维数为n1, 则
  • 第203页例题6.46的第(1)小题的答案为tr(A)
  • 第203页例题6.46的第(12)小题的答案为任意实数
  • 第 225 页第 7 题删除, 接下来的各题的题号均减一.
  • 第254页例题7.53题目修正为: 设α1,α2,,αnβ1,β2,,βnn维欧氏空间V的两组正交基.
  • 第294页例题8.12的证明修正为: 设Q的正负惯性指数分别为s,t, 并经可逆线性变换X=CZ化为规范形Q(x1,x2,,xn)=z12+z22++zs2zs+12zs+22zs+t2. 不妨设 C1=(cij). 假设s>p, 则因为p+(ns)<n, 故存在非零的X0使yi=0, i=1,2,,p; zj=cj1x1+cj2x2++cjnxn=0, s+1jn. 此时, 一方面, Q(X0)=yp+12yp+22yp+q20. 另一方面, Z0=C1X0 不是零向量, 从而相应的 z1,z2,,zs 不全为0. 此时, Q(X0)=z12+z22++zs2>0. 矛盾, 从而sp. 同理可证tq.
  • 第 305 页 2.(5) 中关于半正定的等价条件的第 ③ 条移去“正惯性指数s=rank(A)<n, 且”; 第 ④ 条移去 “, s<n”; 第 ⑤ 条移去“不可逆”; 第 ⑥ 条移去“, 且至少有一个为0”.
  • 第 305 页 2.(6) 中移去“; det(A)=0,”.
  • 第 305 页 3.(2) 改为 “半正定的判定. n 元实二次型Q(X)=XTAX 或实对称矩阵 A 半正定 A 的各阶主子式全非负, 即 detA(i1 i2  iki1 i2  ik)0, 1i1<i2<<ikn, k=1,2,,n.”
  • 第 305 页 3.(4) 改为 “半负定的判定. n 元实二次型Q(X)=XTAX 或实对称矩阵 A 半负定 A 的各奇数阶主子式全非正, 各偶数阶主子式全非负, 即 (1)kdetA(i1 i2  iki1 i2  ik)0, 1i1<i2<<ikn, k=1,2,,n.”
  • 第 316 页 7(5) 的答案应该为 (a1b1++anbn)k1A
  • 第 316 页到 318 页的 15 是教材 (第二版) 的 16; 16 是教材的 17; 17 是教材的 19; 18 是教材的 19; 19 需要删去; 21 是教材的 34; 22 是教材的 35; 23 是教材的 15; 24 是教材的 21; 25 是教材的 23; 26 是教材的 24; 27 是教材的 25; 28 是教材的 26; 29 是教材的 27; 30 是教材的 28; 31 是教材的 29; 32 是教材的 30; 33 是教材的 31; 34 是教材的 32; 35 是教材的 36; 36 是教材的 37; 37 是教材的 38; 38 是教材的 39; 39 是教材的 40; 40 是教材的 41; 41 是教材的 42; 42 是教材的 43.
  • 第 326 页第 7 的答案删除, 接下来的各题的题号均减一.


部分勘误信息 (2016年8月第2次印刷) (请参考上面的勘误, 这一版次的勘误一般情况下不再更新)

非常感谢熊伟、李天宇、吴昕、程泽康、张钊、康宁等同学提供的宝贵意见.
  • 第42页的例题2.31, 直线 L 的表达式改为 {x+yz1=0xy+z+1=0
  • 第76页, 最后一行的矩阵改为 (Ir0A1A1CB10Ik0B1).
  • 第92页例4.37的解答: An=2n1ααT=2n1(101000101)=(2n102n10002n102n1)
  • 第93页例4.38的解答. 矩阵的圆括号应当改成行列式符号: |A|=|n1111n1011n1101n1110|=(n1)|1111101111011110|=(n1)|1111010000100001|=(1)n1(n1).
  • 第101页例4.47的题目. 证明Cramer法则: 当系数矩阵……
  • 第112页, 第17题的四个选项将 AB 全都改成 ATB.
  • 第218页例6.93的提示中, 对于代数重数, 很显然有 nA,B=nA+nB.
  • 第304页2.(2)中, (A)ij>0 改成 (A)ii>0, 即 A 的主对角线上的元素皆大于零.
  • 第313页, 24题的答案应改为 4x2+4y21.
  • 第313页, 27题的方程应改为 8x2+5y2+5z2+4xy+8yz4xz8x2y+2z7=0.
  • 第317页25题(4)的答案: (1)i<jninjdet(A1)det(Ak)
  • 第321页, 12题, (2): 错误. 例如, 考虑平面上 (1,0), (0,1)(1,1) 构成的向量组.
  • 第323页, 35题, (2): 矩阵应改为 (3/52/5002/53/5003/52/51014/511/501).
  • 第325页2题(4)的答案: 所求矩阵为 (0x21x120x12x11x220x12x210x22x11x210x21x120).
  • 第330页4题(2)的答案: 17(1,1,1,2), 1921(4,4,38,15), 1926898(986,743,133,798).